Očekávaná hodnota pro Chuck-a-Luck

Chuck-a-Luck je hazardní hra. Tři kostky jsou válcovány, někdy v drátěném rámu. Díky tomuto rámu se tato hra nazývá také klec na ptáky. Tato hra je častěji vidět v karnevalech než v kasinech. Vzhledem k použití náhodných kostek však můžeme tuto hru analyzovat pomocí pravděpodobnosti. Konkrétněji můžeme vypočítat očekávanou hodnotu této hry.

Existuje několik typů sázek, na které je možné vsadit. Budeme brát v úvahu pouze sázku na jedno číslo. Na této sázce si jednoduše vybereme konkrétní číslo od jedné do šesti. Pak hodíme kostkami. Zvažte možnosti. Všechny kostky, dvě z nich, jedna nebo žádná z nich nemohly ukázat číslo, které jsme si vybrali.

Předpokládejme, že tato hra bude platit následující:

• $ 3, pokud se všechny tři kostky shodují s vybraným číslem.
• $ 2, pokud se přesně zvolené číslo shoduje se dvěma kostkami.
• $ 1, pokud se přesně jedna z kostek shoduje s vybraným číslem.

Pokud žádná z kostek neodpovídá zvolenému číslu, musíme zaplatit $ 1.

Jaká je očekávaná hodnota této hry? Jinými slovy, kolik z dlouhodobého hlediska bychom očekávali, že vyhrajeme nebo prohrajeme, pokud bychom tuto hru hráli opakovaně?

Abychom našli očekávanou hodnotu této hry, musíme určit čtyři pravděpodobnosti. Tyto pravděpodobnosti odpovídají čtyřem možným výsledkům. Všimli jsme si, že každá kostka je nezávislá na ostatních. Kvůli této nezávislosti používáme pravidlo násobení. To nám pomůže určit počet výsledků.

Předpokládáme také, že kostky jsou spravedlivé. Je pravděpodobné, že každá ze šesti stran na každé ze tří kostek se hodí.

Při válcování těchto tří kostek existuje 6 x 6 x 6 = 216 možných výsledků. Toto číslo bude jmenovatelem všech našich pravděpodobností.

Existuje jeden způsob, jak spojit všechny tři kostky s vybraným číslem.

Existuje pět způsobů, jak jedna kostka neodpovídá našemu vybranému číslu. To znamená, že existuje 5 x 5 x 5 = 125 způsobů, jak žádná z našich kostek neodpovídá zvolenému číslu.

Pokud vezmeme v úvahu přesně dvě kostky, pak máme jednu kostku, která se neshoduje.

• Existují 1 x 1 x 5 = 5 způsobů, jak se první dvě kostky shodují s naším číslem a třetí se liší.
• První a třetí kostky se shodují 1 x 5 x 1 = 5, přičemž druhá se liší.
• Existuje 5 x 1 x 1 = 5 způsobů, jak se první zápustka lišit a druhá a třetí shodovat.

To znamená, že existuje celkem 15 způsobů, jak přesně dvě kostky odpovídat.

Nyní jsme vypočítali počet způsobů, jak získat všechny kromě jednoho z našich výsledků. Je možné 216 rolí. Započítali jsme 1 + 15 + 125 = 141 z nich. To znamená, že zbývá 216 - 141 = 75.

Shromažďujeme všechny výše uvedené informace a vidíme:

• Pravděpodobnost, že se naše číslo shoduje se všemi třemi kostkami, je 1/216.
• Pravděpodobnost, že naše číslo odpovídá přesně dvěma kostkám, je 15/216.
• Pravděpodobnost, že se naše číslo přesně shoduje s jednou kostkou, je 75/216.
• Pravděpodobnost, že naše číslo neodpovídá žádné z kostek, je 125/216.

Nyní jsme připraveni vypočítat očekávaná hodnota této situace. vzorec pro očekávanou hodnotu vyžaduje, abychom vynásobili pravděpodobnost každé události čistým ziskem nebo ztrátou, pokud k události dojde. Poté přidáme všechny tyto produkty dohromady.

Výpočet očekávané hodnoty je následující:

(3)(1/216) + (2)(15/216) +(1)(75/216) +(-1)(125/216) = 3/216 +30/216 +75/216 -125/216 = -17/216

To je přibližně - 0,08 $. Interpretace je taková, že kdybychom tuto hru hráli opakovaně, ztratili bychom v průměru při každém hraní v průměru 8 centů.