Momenty v matematické statistice zahrnují základní výpočet. Tyto výpočty mohou být použity k nalezení průměru, rozptylu a skreslosti rozdělení pravděpodobnosti.
Předpokládejme, že máme sadu dat s celkem noddělený body. Jeden důležitý výpočet, který je ve skutečnosti několik čísel, se nazývá sokamžik. sokamžik datového souboru s hodnotami X1, X2, X3,..., Xn je dáno vzorcem:
(X1s + X2s + X3s +... + Xns)/n
Používání tohoto vzorce vyžaduje, abychom byli opatrní při našem pořadí operací. Nejprve musíme udělat exponenty, přidat, pak tuto částku vydělit n celkový počet hodnot dat.
Poznámka k termínu 'Moment'
Termín okamžik byla převzata z fyziky. Ve fyzice se moment systému hmotností bodů počítá podle vzorce, který je shodný s výše uvedeným vzorcem, a tento vzorec se používá při hledání těžiště bodů. Ve statistikách už hodnoty nejsou masy, ale jak uvidíme, momenty ve statistikách stále měří něco relativně ke středu hodnot.
První okamžik
První okamžik jsme se vydali s = 1. Vzorec pro první okamžik je tedy:
(X1X2 + X3 +... + Xn)/n
To je stejné jako u vzorku znamenat.
První okamžik hodnot 1, 3, 6, 10 je (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.
Druhý okamžik
Druhý okamžik jsme vyrazili s = 2. Vzorec pro druhý okamžik je:
(X12 + X22 + X32 +... + Xn2)/n
Druhý moment hodnot 1, 3, 6, 10 je (12 + 32 + 62 + 102) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36.5.
Třetí okamžik
Třetí okamžik jsme vyrazili s = 3. Vzorec pro třetí okamžik je:
(X13 + X23 + X33 +... + Xn3)/n
Třetí moment z hodnot 1, 3, 6, 10 je (13 + 33 + 63 + 103) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.
Vyšší momenty lze vypočítat podobným způsobem. Stačí vyměnit s ve výše uvedeném vzorci s číslem označujícím požadovaný okamžik.
Momenty o průměru
Související myšlenkou je myšlenka smoment o průměru. V tomto výpočtu provádíme následující kroky:
- Nejprve vypočítejte průměr hodnot.
- Dále odečtěte tuto střední hodnotu od každé hodnoty.
- Pak zvýší každý z těchto rozdílů na ssíla.
- Nyní přidejte čísla z kroku 3 dohromady.
- Nakonec vydělte tento součet počtem hodnot, které jsme začali.
Vzorec pro smoment o průměru m hodnot hodnot X1, X2, X3,..., Xn darováno:
ms = ((X1 - m)s + (X2 - m)s + (X3 - m)s +... + (Xn - m)s)/n
První okamžik o průměru
První okamžik o průměru je vždy roven nule, bez ohledu na to, s jakou sadou dat pracujeme. To je vidět na následujícím:
m1 = ((X1 - m) + (X2 - m) + (X3 - m) +... + (Xn - m))/n = ((X1+ X2 + X3 +... + Xn) - nm)/n = m - m = 0.
Druhý okamžik o průměru
Druhý okamžik kolem průměru se získá z výše uvedeného vzorce nastaveníms = 2:
m2 = ((X1 - m)2 + (X2 - m)2 + (X3 - m)2 +... + (Xn - m)2)/n
Tento vzorec je ekvivalentní vzorci pro rozptyl vzorku.
Zvažte například sadu 1, 3, 6, 10. Průměr této sady jsme již vypočítali na 5. Odečtěte od každé z datových hodnot, abyste získali rozdíly:
- 1 – 5 = -4
- 3 – 5 = -2
- 6 – 5 = 1
- 10 – 5 = 5
Vymáčkneme každou z těchto hodnot a spočítáme je dohromady: (-4)2 + (-2)2 + 12 + 52 = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Nakonec vydělte toto číslo počtem datových bodů: 46/4 = 11,5
Aplikace momentů
Jak je uvedeno výše, první okamžik je průměr a druhý okamžik kolem průměru je vzorek odchylka. Karl Pearson představil použití třetího momentu o průměru ve výpočtu skewness a čtvrtý moment o průměru ve výpočtu kurtóza.