Funkce generující moment pro binomické rozdělení

Průměr a rozptyl náhodné proměnné X s binomické rozdělení pravděpodobnosti může být obtížné vypočítat přímo. Přestože může být jasné, co je třeba udělat při používání definice očekávaná hodnota z X a X², skutečné provedení těchto kroků je složité žonglování algebry a sumací. Alternativní způsob stanovení průměru a rozptylu a binomické rozdělení je použít funkce generování momentů pro X.

Začněte s náhodnou proměnnou X a popište rozdělení pravděpodobnosti konkrétněji. Provést n nezávislé Bernoulliho zkoušky, z nichž každá má pravděpodobnost úspěchu str a pravděpodobnost selhání 1 - str. Funkce pravděpodobnostní hmotnosti je tedy

F (X) = C(n, X)str^X(1 – str)^{n - X}

Tady termín C(n, X) označuje počet kombinací n přijaté prvky X najednou a X mohou mít hodnoty 0, 1, 2, 3,. .., n.

Pomocí této funkce pravděpodobnosti hmotnosti získáte funkci generování momentu X:

M(t) = Σ_{X = 0}ⁿE^txC(n,X)>)str^X(1 – str)^{n - X}.

Je zřejmé, že podmínky můžete kombinovat s exponentem X:

M(t) = Σ_{X = 0}ⁿ (pe^t)^XC(n,X)>)(1 – str)^{n - X}.

Navíc pomocí binomického vzorce je výše uvedený výraz jednoduše:

M(t) = [(1 – str) + pe^t]ⁿ.

S cílem najít znamenat a rozptyl, budete muset znát oba M'(0) a M’’(0). Začněte výpočtem svých derivátů a poté každou z nich vyhodnoťte na t = 0.

Uvidíte, že první derivace funkce generování momentu je:

M’(t) = n(pe^t)[(1 – str) + pe^t]^{n - 1}.

Z toho můžete vypočítat průměr rozdělení pravděpodobnosti. M(0) = n(pe⁰)[(1 – str) + pe⁰]^{n - 1} = np. To odpovídá výrazu, který jsme získali přímo z definice průměru.

Výpočet rozptylu se provádí podobným způsobem. Nejprve znovu rozlište funkci generování momentu a poté vyhodnotíme tento derivát na t = 0. Tady to uvidíte

M’’(t) = n(n - 1)(pe^t)²[(1 – str) + pe^t]^{n - 2} + n(pe^t)[(1 – str) + pe^t]^{n - 1}.

K výpočtu rozptylu této náhodné proměnné musíte najít M’’(t). Tady máš M’’(0) = n(n - 1)str² +np. Rozptyl σ² vaší distribuce je

σ² = M’’(0) – [M’(0)]² = n(n - 1)str² +np - (np)² = np(1 - str).

I když je tato metoda poněkud zapojena, není tak složitá jako výpočet průměru a rozptylu přímo z funkce pravděpodobnostní hmotnosti.