Podmíněná pravděpodobnost: zápis a příklady

click fraud protection

Přímý příklad podmiňovací způsob pravděpodobnost je pravděpodobnost, že karta vylosovaná ze standardního balíčku karet je král. Z 52 karet jsou celkem čtyři králové, takže pravděpodobnost je prostě 4/52. S tímto výpočtem souvisí následující otázka: „Jaká je pravděpodobnost, že s tím nakreslíme krále už jsme z balíčku vytáhli kartu a je to eso? “Tady zvažujeme obsah balíčku karty. Stále existují čtyři králové, ale nyní je v balíčku pouze 51 karet. Pravděpodobnost nakreslení krále vzhledem k tomu, že eso již bylo nakresleno, je 4/51.

Podmíněná pravděpodobnost je definována jako pravděpodobnost události vzhledem k tomu, že nastala jiná událost. Pokud pojmenujeme tyto události A a B, pak můžeme mluvit o pravděpodobnosti A daný B. Mohli bychom také poukázat na pravděpodobnost A závislý na B.

Zápis

Zápis pro podmíněnou pravděpodobnost se liší od učebnice k učebnici. Ve všech notacích znamená, že pravděpodobnost, na kterou odkazujeme, závisí na jiné události. Jeden z nejčastějších zápisů pravděpodobnosti A daný B je P (A | B). Další notace, která se používá, je PB(A).

instagram viewer

Vzorec

Tam je vzorec pro podmíněnou pravděpodobnost, která spojí toto s pravděpodobností A a B:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)

V podstatě to, co tento vzorec říká, je to, že se počítá podmíněná pravděpodobnost události A vzhledem k události B, změníme náš vzorový prostor tak, aby sestával pouze z množiny B. Přitom nebereme v úvahu celou událost A, ale pouze část A to je také obsaženo v B. Soubor, který jsme právě popsali, lze identifikovat známějším způsobem jako průsečík z A a B.

Můžeme použít algebra vyjádřit výše uvedený vzorec jiným způsobem:

P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)

Příklad

Na základě těchto informací se vrátíme k příkladu, který jsme začali. Chceme znát pravděpodobnost nakreslení krále, protože eso již bylo nakresleno. Tedy událost A je to, že kreslíme krále. událost B je to, že kreslíme eso.

Pravděpodobnost, že k oběma událostem dojde a nakreslíme eso a poté král, odpovídá P (A ∩ B). Hodnota této pravděpodobnosti je 12/2652. Pravděpodobnost události B, že kreslíme eso je 4/52. Používáme tedy vzorec podmíněné pravděpodobnosti a vidíme, že pravděpodobnost nakreslení krále, než bylo vylosováno eso, je (16/2652) / (4/52) = 4/51.

Další příklad

Pro další příklad se podíváme na experiment pravděpodobnosti, kde jsme hodit dvěma kostkami. Otázka, kterou bychom se mohli zeptat, zní: „Jaká je pravděpodobnost, že jsme hodili tři, vzhledem k tomu, že jsme válcovali částku menší než šest?“

Zde je událost A je to, že jsme hodili tři a událost B je to, že jsme válcovali částku menší než šest. Existuje celkem 36 způsobů, jak hodit dvěma kostkami. Z těchto 36 způsobů můžeme hodit částku menší než šest z deseti způsobů:

  • 1 + 1 = 2
  • 1 + 2 = 3
  • 1 + 3 = 4
  • 1 + 4 = 5
  • 2 + 1 = 3
  • 2 + 2 = 4
  • 2 + 3 = 5
  • 3 + 1 = 4
  • 3 + 2 = 5
  • 4 + 1 = 5

Nezávislé události

V některých případech je podmíněná pravděpodobnost A vzhledem k události B se rovná pravděpodobnosti A. V této situaci říkáme, že události A a B jsou na sobě nezávislí. Výše uvedený vzorec se stává:

P (A | B) = P (A) = P (A ∩ B) / P (B),

a získáme vzorec, který u nezávislých událostí pravděpodobnost obou A a B se zjistí vynásobením pravděpodobností každé z těchto událostí:

P (A ∩ B) = P (B) P (A)

Pokud jsou dvě události nezávislé, znamená to, že jedna událost nemá žádný účinek na druhou. Převrácení jedné mince a poté další je příkladem nezávislých událostí. Jedna mince nemá na druhý vliv.

Upozornění

Při určování toho, která událost závisí na druhé, buďte velmi opatrní. Obecně P (A | B) není rovno P (B | A). To je pravděpodobnost A vzhledem k události B není stejná jako pravděpodobnost B vzhledem k události A.

Ve výše uvedeném příkladu jsme viděli, že při házení dvou kostek byla pravděpodobnost házení tři, vzhledem k tomu, že jsme hodili součet menší než šest, 4/10. Na druhou stranu, jaká je pravděpodobnost převržení částky menší než šest vzhledem k tomu, že jsme hodili tři? Pravděpodobnost hodit tři a částku menší než šest je 4/36. Pravděpodobnost válcování nejméně jedné tři je 11/36. Podmíněná pravděpodobnost je v tomto případě (4/36) / (11/36) = 4/11.

instagram story viewer