Pochopení ekvivalentních rovnic v Algebře

Ekvivalentní rovnice jsou soustavy rovnic, které mají stejná řešení. Identifikace a řešení ekvivalentních rovnic je cenná dovednost, nejen v algebra třída ale také v každodenním životě. Podívejte se na příklady ekvivalentních rovnic, jak je vyřešit pro jednu nebo více proměnných a jak byste tuto dovednost mohli použít mimo učebnu.

Klíč s sebou

Nejjednodušší příklady ekvivalentních rovnic nemají žádné proměnné. Například tyto tři rovnice jsou si navzájem rovnocenné:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Rozpoznání těchto rovnic je rovnocenné, je skvělé, ale nijak zvlášť užitečné. Problém rovné rovnice obvykle vyžaduje, abyste vyřešili proměnnou a zjistili, zda je stejná (stejná) vykořenit) jako v jiné rovnici.

Například následující rovnice jsou ekvivalentní:

• x = 5
• -2x = -10

V obou případech x = 5. Jak to víme? Jak to vyřešíte pro rovnici "-2x = -10"? Prvním krokem je poznání pravidel ekvivalentních rovnic:

• Přidávání nebo odečtením stejného čísla nebo výrazu na obě strany rovnice se vytvoří ekvivalentní rovnice.
• Vynásobením nebo dělením obou stran rovnice stejným nenulovým číslem se vytvoří ekvivalentní rovnice.
• Zvýšení obou stran rovnice na stejná lichá síla nebo při použití stejného lichého kořene vytvoří ekvivalentní rovnici.
• Pokud obě strany rovnice nejsounegativní, zvýšení obou stran rovnice na stejnou sudou sílu nebo přijetí stejného sudého kořene poskytne ekvivalentní rovnici.

Po zavedení těchto pravidel do praxe určete, zda jsou tyto dvě rovnice rovnocenné:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

Chcete-li to vyřešit, musíte najít "x" pro každý rovnice. Pokud je "x" stejné pro obě rovnice, pak jsou ekvivalentní. Pokud je "x" různé (tj. Rovnice mají různé kořeny), pak rovnice nejsou ekvivalentní. Pro první rovnici:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (odečtením obou stran stejným číslem)
• x = 5

Pro druhou rovnici:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (odečtením obou stran stejným číslem)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (dělí obě strany rovnice stejným číslem)
• x = 5

Takže ano, obě rovnice jsou ekvivalentní, protože x = 5 v každém případě.

V každodenním životě můžete použít ekvivalentní rovnice. Je to zvláště užitečné při nakupování. Například se vám líbí konkrétní košile. Jedna společnost nabízí tričko za 6 $ a má 12 dolarů za dopravu, zatímco jiná společnost nabízí tričko za 7,50 $ a má 9 dolarů za dopravu. Která košile má nejlepší cenu? Kolik košil (možná je chcete získat pro přátele) byste museli koupit za stejnou cenu pro obě společnosti?

Chcete-li tento problém vyřešit, nechte „x“ počet košil. Nejprve nastavte x = 1 na nákup jedné košile. Pro společnost č. 1:

• Cena = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = 18 $

Pro společnost č. 2:

• Cena = 7,5 x + 9 = (1) (7,5) + 9 = 7,5 + 9 = 16,50 $

Pokud tedy kupujete jednu košili, druhá společnost nabízí lepší nabídku.

Chcete-li najít bod, kde jsou ceny stejné, nechte „x“ počet košil, ale nastavte dvě rovnice na sebe. Řešením „x“ zjistíte, kolik košil byste si museli koupit:

• 6x + 12 = 7,5x + 9
• 6x - 7,5x = 9 - 12 (odečítání stejná čísla nebo výrazy z každé strany)
• -1,5x = -3
• 1,5x = 3 (dělí obě strany stejným číslem, -1)
• x = 3 / 1,5 (dělí obě strany 1,5)
• x = 2

Pokud si koupíte dvě košile, cena je stejná, bez ohledu na to, kde ji dostanete. Pomocí stejné matematiky můžete určit, která společnost vám dává lepší řešení větších objednávek, a také vypočítat, kolik ušetříte pomocí jedné společnosti oproti druhé. Vidíte, algebra je užitečná!

Pokud máte dvě rovnice a dvě neznámé (x a y), můžete určit, zda jsou dvě sady lineárních rovnic rovnocenné.

Pokud máte například rovnice:

• -3x + 12 let = 15
• 7x - 10 let = -2

Můžete určit, zda je následující systém rovnocenný:

• -x + 4y = 5
• 7x-10 let = -2

Na vyřešit tento problém, najděte „x“ a „y“ pro každý systém rovnic. Pokud jsou hodnoty stejné, pak jsou systémy rovnic ekvivalentní.

Začněte s první sadou. Chcete-li vyřešit dva rovnice se dvěma proměnné, izolovat jednu proměnnou a zapojit její řešení do druhé rovnice. Chcete-li izolovat proměnnou „y“:

• -3x + 12 let = 15
• -3x = 15 - 12 let
• x = - (15 - 12y) / 3 = -5 + 4y (zapojte pro "x" ve druhé rovnici)
• 7x - 10 let = -2
• 7 (-5 + 4y) - 10 let = -2
• -35 + 28 let - 10 let = -2
• 18r = 33
• y = 33/18 = 11/6

Nyní zapojte „y“ zpět do jedné z rovnic a vyřešte pro „x“:

• 7x - 10 let = -2
• 7x = -2 + 10 (11/6)

Tímto postupem získáte nakonec x = 7/3.

Chcete-li odpovědět na otázku, vy mohl aplikovat stejné principy na druhou množinu rovnic, které mají vyřešit pro "x" a "y", aby zjistily, že ano, jsou skutečně rovnocenné. Je snadné zapadnout do algebry, takže je dobré zkontrolovat svou práci pomocí online řešič rovnic.

Chytrý student si však všimne, že jsou dvě sady rovnic rovnocenné aniž byste museli provádět složité výpočty. Jediný rozdíl mezi první rovnicí v každé sadě je, že první rovnice je trojnásobkem druhé rovnice (ekvivalentní). Druhá rovnice je přesně stejná.