Jeden z nejvíce široce používaných konstant v celé matematice je číslo pi, který je označován řeckým písmenem π. Koncept pí vznikl v geometrii, ale toto číslo má uplatnění v celé matematice a ukazuje se v dalekosáhlých předmětech, včetně statistik a pravděpodobnosti. Pi dokonce získal oslavu kultury a své vlastní svátky Pi denní aktivity okolo světa.
Hodnota Pi
Pi je definován jako poměr obvodu kružnice k jeho průměru. Hodnota pi je o něco větší než tři, což znamená, že každá kružnice ve vesmíru má obvod o délce, která je o něco více než trojnásobek jejího průměru. Přesněji řečeno, pi má desetinnou reprezentaci, která začíná 3.14159265... Toto je pouze část desetinné expanze pí.
Fakta pí
Pi má mnoho fascinujících a neobvyklých funkcí, včetně:
- Pi je iracionální reálné číslo. To znamená, že pi nelze vyjádřit jako zlomek a / b kde A a b jsou oba celá čísla. Ačkoli čísla 22/7 a 355/113 jsou užitečná při odhadu pí, žádná z těchto frakcí není skutečnou hodnotou pi.
- Protože pi je iracionální číslo, jeho desítkové rozšíření nikdy nekončí ani se neopakuje. Existuje několik otázek týkajících se tohoto desetinného rozšíření, například: Zobrazuje se každý možný řetězec číslic někde v desetinném rozšíření pi? Pokud se objeví každý možný řetězec, vaše číslo mobilního telefonu je někde v expanzi pi (ale stejně tak i ostatních).
- Pi je transcendentální číslo. To znamená, že pi není nula polynomu s celočíselnými koeficienty. Tato skutečnost je důležitá při zkoumání pokročilejších funkcí pi.
- Pi je důležitý geometricky, a to nejen proto, že se týká obvodu a průměru kruhu. Toto číslo se také zobrazí ve vzorci pro oblast kruhu. Oblast kruhu o poloměru r je A = pi r2. Číslo pi se používá v jiných geometrických vzorcích, jako je plocha povrchu a objem koule, objem kužele a objem válce s kruhovou základnou.
- Pi se objeví, když je to nejméně očekáváno. Pro jeden z mnoha příkladů toho zvažte nekonečná suma 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 +... Tato částka konverguje k hodnotě pi2/6.
Pi ve statistice a pravděpodobnosti
Pi dělá překvapující vnější okolnosti v celé matematice, a některé z těchto vnějších okolností jsou předmětem pravděpodobnosti a statistiky. Vzorec pro standardní normální rozdělení, také známý jako křivka zvonku, představuje číslo pi jako konstantu normalizace. Jinými slovy, dělení výrazem pi vám umožní říci, že plocha pod křivkou je rovná jedné. Pi je součástí vzorců pro ostatní rozdělení pravděpodobnosti také.
Dalším překvapivým výskytem pi je pravděpodobně staletý experiment s házením jehly. V 18. století Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon položil otázku týkající se pravděpodobnosti pádu jehel: Začněte podlahou s prkny ze dřeva stejné šířky, v nichž jsou linie mezi každým prknem rovnoběžné. Vezměte jehlu o délce kratší, než je vzdálenost mezi prkny. Pokud upustíte jehlu na podlahu, jaká je pravděpodobnost, že přistane na hranici mezi dvěma dřevěnými prkny?
Jak se ukazuje, pravděpodobnost, že jehla dopadne na linii mezi dvěma prkny, je dvojnásobkem délky jehly děleno délkou mezi prkny krát pi.