Co je průnik dvou sad?

Při jednání teorie množin, existuje řada operací, jak vytvořit nové sady ze starých. Jedna z nejčastějších sad operací se nazývá průnik. Jednoduše řečeno, průnik dvou sad A a B je množina všech prvků, které oba A a B mají společného.

Podíváme se na podrobnosti týkající se průniku v teorii množin. Jak uvidíme, klíčovým slovem je zde slovo „a“.

Jako příklad toho, jak se protíná dvě sady a nová sada, podívejme se na soubory A = {1, 2, 3, 4, 5} a B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Abychom našli průnik těchto dvou sad, musíme zjistit, jaké prvky mají společné. Čísla 3, 4, 5 jsou prvky obou sad, tedy průsečíky A a B je {3. 4. 5].

Kromě porozumění pojmům týkajícím se operací teorie množin je důležité umět číst symboly používané k označení těchto operací. Symbol pro průnik je někdy nahrazen slovem „a“ mezi dvěma sadami. Toto slovo navrhuje kompaktnější zápis pro průnik, který se obvykle používá.

Symbol používaný pro průnik těchto dvou sad A a B darováno A ∩ B. Jedním ze způsobů, jak si pamatovat, že tento symbol ∩ odkazuje na křižovatku, je všimnout si jeho podobnosti s velkým písmenem A, což je zkratka pro slovo „a“.

Chcete-li zobrazit tento zápis v akci, vraťte se zpět na výše uvedený příklad. Tady jsme měli sety A = {1, 2, 3, 4, 5} a B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Takže bychom napsali naprogramovanou rovnici A ∩ B = {3, 4, 5}.

Jedna základní identita, která zahrnuje průnik, nám ukazuje, co se stane, když vezmeme průnik jakékoli sady s prázdnou sadou, označenou # 8709. Prázdná sada je sada bez prvků. Pokud v jedné ze sad, ve kterých se snažíme najít průnik, neexistují žádné prvky, pak obě sady nemají žádné společné prvky. Jinými slovy, průnik jakékoli množiny s prázdná sada dá nám prázdnou sadu.

Tato identita se s použitím naší notace stává ještě kompaktnější. Máme identitu: A ∩ ∅ = ∅.

Co se ostatně stane, když prozkoumáme průnik sady s univerzálním souborem? Podobné, jak slovo vesmír je používán v astronomii znamenat všechno, univerzální sada obsahuje každý prvek. Z toho vyplývá, že každý prvek naší sady je také prvkem univerzální sady. Průnik jakékoli množiny s univerzální sadou je tedy množinou, kterou jsme začali.

Naše notace opět přichází na záchranu, abychom tuto identitu vyjádřili stručněji. Pro každou sadu A a univerzální sada U, A ∩ U = A.

Existuje mnoho dalších rovnic, které zahrnují použití operace průniku. Samozřejmě je vždy dobré praxe pomocí jazyka teorie množin. Pro všechny sady A, a B a D my máme:

• Reflexní vlastnost: A ∩ A =A
• Komutativní vlastnictví: A ∩ B = B ∩ A
• Asociativní vlastnictví: (A ∩ B) ∩ D =A ∩ (B ∩ D)
• Distribuční vlastnictví: (A ∪ B) ∩ D = (A ∩ D)∪ (B ∩ D)
• DeMorganův zákon I: (A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C
• DeMorgan's Law II: (A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C