Z věty lze odvodit několik teorémů pravděpodobnosti axiomy pravděpodobnosti. Tyto věty lze použít k výpočtu pravděpodobností, které bychom si mohli přát. Jeden takový výsledek je známý jako pravidlo doplňku. Toto tvrzení nám umožňuje vypočítat pravděpodobnost událostA znát pravděpodobnost doplňku AC. Po určení pravidla doplňku uvidíme, jak lze tento výsledek prokázat.
Pravidlo doplňku
Doplněk akce A je označen AC. Doplněk A je soubor všech prvků v univerzální sadě nebo ukázkový prostor S, které nejsou prvky sady A.
Pravidlo komplementu je vyjádřeno následující rovnicí:
P (AC) = 1 - P (A)
Zde vidíme, že pravděpodobnost události a pravděpodobnost jejího doplnění se musí rovnat 1.
Důkaz pravidla doplňku
Abychom dokázali pravidlo komplementu, začneme axiomy pravděpodobnosti. Tato prohlášení jsou převzata bez důkazu. Uvidíme, že je lze systematicky použít k prokázání našeho tvrzení ohledně pravděpodobnosti doplnění události.
- První axiom pravděpodobnosti je, že pravděpodobnost jakékoli události je nezáporná reálné číslo.
- Druhou axiomem pravděpodobnosti je pravděpodobnost celého prostoru vzorku S je jeden. Symbolicky píšeme P (S) = 1.
- Třetí axiom pravděpodobnosti uvádí, že If A a B jsou vzájemně se vylučující (což znamená, že mají prázdnou křižovatku), pak uvedeme pravděpodobnost spojení těchto událostí jako P (A U B ) = P (A) + P (B).
Pro pravidlo doplnění nebudeme muset použít první axiom ve výše uvedeném seznamu.
Abychom dokázali naše prohlášení, bereme v úvahu události Aa AC. Z teorie množin víme, že tyto dvě sady mají prázdný průnik. Je to proto, že prvek nemůže být současně v obou A a ne v A. Protože existuje prázdná křižovatka, jsou tyto dvě sady vzájemně se vylučující.
Spojení obou událostí A a AC jsou také důležité. Jedná se o vyčerpávající události, což znamená, že unie těchto událostí je celý ukázkový prostor S.
Tato fakta v kombinaci s axiomy nám dávají rovnici
1 = P (S) = P (A U AC) = P (A) + P (AC) .
První rovnost je dána druhou pravděpodobností axiomu. Druhá rovnost je kvůli událostem A a AC jsou vyčerpávající. Třetí rovnost je způsobena třetí pravděpodobností axiomu.
Výše uvedená rovnice může být přeskupena do formy, kterou jsme uvedli výše. Vše, co musíme udělat, je odečíst pravděpodobnost A z obou stran rovnice. Tím pádem
1 = P (A) + P (AC)
se stává rovnicí
P (AC) = 1 - P (A).
Samozřejmě bychom také mohli vyjádřit pravidlo tím, že:
P (A) = 1 - P (AC).
Všechny tři z těchto rovnic jsou rovnocenné způsoby, jak říci to samé. Z tohoto důkazu vidíme, jak jen dva axiomy a některé teorie množin vedou dlouhou cestu, aby nám pomohly prokázat nová tvrzení ohledně pravděpodobnosti.