Koncept očekávaná hodnota lze použít k analýze kasinové hry rulety. Tuto myšlenku můžeme použít z pravděpodobnosti k určení, kolik peněz z dlouhodobého hlediska ztratíme hraním rulety.
Pozadí
Ruletové kolo v USA obsahuje 38 stejně velkých prostor. Kolo se točí a v jednom z těchto prostorů náhodně přistane míč. Dvě mezery jsou zelené a mají na nich čísla 0 a 00. Ostatní mezery jsou očíslovány od 1 do 36. Polovina z těchto zbývajících mezer je červená a polovina z nich černá. Různé sázky mohou být provedeny tam, kde míč skončí přistáním. Běžnou sázkou je vybrat barvu, jako je červená, a vsadit, že míč dopadne na kterýkoli z 18 červených mezer.
Pravděpodobnosti pro ruletu
Protože jsou prostory stejné velikosti, je pravděpodobné, že míč dopadne v kterémkoli z těchto prostorů. To znamená, že kolo rulety zahrnuje uniformu rozdělení pravděpodobnosti. Pravděpodobnost, že budeme muset vypočítat naši očekávanou hodnotu, je následující:
- Existuje celkem 38 mezer, takže pravděpodobnost, že míč dopadne na jeden konkrétní prostor, je 1/38.
- Existuje 18 červených mezer, takže pravděpodobnost výskytu červené je 18/38.
- Existuje 20 mezer, které jsou černé nebo zelené, takže pravděpodobnost, že se červená nevyskytne, je 20/38.
Náhodná proměnná
Čisté výhry na ruletové sázce lze považovat za diskrétní náhodnou proměnnou. Pokud vsadíme $ 1 na červenou a červenou, pak vyhrajeme náš dolar zpět a další dolar. Výsledkem jsou čisté výhry 1. Pokud vsadíme $ 1 na červenou a zelenou nebo černou, ztratíme dolar, který vsadíme. Výsledkem jsou čisté výhry -1.
Náhodná proměnná X definovaná jako čisté výhry ze sázení na červenou v ruletě vezme hodnotu 1 s pravděpodobností 18/38 a vezme hodnotu -1 s pravděpodobností 20/38.
Výpočet očekávané hodnoty
Výše uvedené informace používáme s vzorec pro očekávanou hodnotu. Protože máme diskrétní náhodnou proměnnou X pro čisté výhry, očekávaná hodnota sázení 1 $ na červenou v ruletě je:
P (červená) x (hodnota X pro červenou) + P (ne červená) x (hodnota X pro ne červenou) = 18/38 x 1 + 20/38 x (-1) = -0,053.
Interpretace výsledků
Pomáhá zapamatovat si význam očekávané hodnoty při interpretaci výsledků tohoto výpočtu. Očekávaná hodnota je do značné míry měřením středu nebo průměru. To ukazuje, co se bude dít v dlouhodobém horizontu pokaždé, když vsadíme $ 1 na červenou.
I když bychom mohli v krátkém časovém horizontu vyhrát několikrát za sebou, v dlouhodobém horizontu ztratíme v průměru při každém hraní v průměru přes 5 centů. Přítomnost 0 a 00 mezer je dostatečná pro to, aby dala domu malou výhodu. Tato výhoda je tak malá, že může být obtížné ji odhalit, ale nakonec dům vždy vyhraje.