Pochopení definice symetrického rozdílu

Teorie množin používá řadu různých operací k sestavení nových sad ze starých. Existuje celá řada způsobů, jak vybrat určité prvky z daných sad a vyloučit jiné. Výsledkem je obvykle sada, která se liší od původních. Je důležité mít dobře definované způsoby konstrukce těchto nových sad a jejich příklady zahrnují unie, průsečík, a rozdíl dvou sad. Nastavená operace, která je možná méně známá, se nazývá symetrický rozdíl.

Abychom pochopili definici symetrického rozdílu, musíme nejprve porozumět slovu „nebo“. Ačkoli slovo „nebo“ je malé, má v anglickém jazyce dvě různá použití. Může být exkluzivní nebo inkluzivní (a byl použit pouze v této větě). Pokud nám řekneme, že si můžeme vybrat z A nebo B a smysl je výlučný, můžeme mít pouze jednu ze dvou možností. Pokud je smysl inkluzivní, pak můžeme mít A, můžeme mít B, nebo můžeme mít oba A a B.

Kontext nás obvykle vede, když narazíme na slovo nebo dokonce ani nemusíme přemýšlet o tom, jakým způsobem se používá. Pokud se nás zeptá, zda bychom chtěli smetanu nebo cukr v naší

Slovo „nebo“ je tedy v definici unie použito v inkluzivním smyslu. Spojení množin A a B je množina prvků v A nebo B (včetně těch prvků, které jsou v obou sadách). Ale stojí za to mít operaci množiny, která konstruuje množinu obsahující prvky v A nebo B, kde 'nebo' se používá ve výlučném smyslu. Tomu se říká symetrický rozdíl. Symetrický rozdíl množin A a B jsou ty prvky v A nebo B, ale ne v A i B. Zatímco notace se liší pro symetrický rozdíl, budeme to psát jako A ∆ B

Jako příklad symetrického rozdílu vezmeme v úvahu sady A = {1,2,3,4,5} a B = {2,4,6}. Symetrický rozdíl mezi těmito sadami je {1,3,5,6}.

K definování symetrického rozdílu lze použít i jiné sady operací. Z výše uvedené definice je zřejmé, že můžeme vyjádřit symetrický rozdíl A a B jako rozdíl spojení A a B a průnik A a B. Do symbolů píšeme: A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B).

Ekvivalentní výraz, který používá některé různé sady operací, pomáhá vysvětlit název symetrický rozdíl. Spíše než použití výše uvedené formulace, můžeme napsat symetrický rozdíl následujícím způsobem: (A - B) ∪ (B - A). Zde opět vidíme, že symetrický rozdíl je množina prvků v A, ale ne B, nebo v B, ale ne A. Vyloučili jsme tedy tyto prvky v průniku A a B. Je možné matematicky dokázat, že tyto dva vzorce jsou rovnocenné a vztahují se ke stejné sadě.

Název symetrický rozdíl naznačuje spojení s rozdílem dvou sad. Tento rozdíl je patrný v obou vzorcích výše. V každé z nich byl vypočítán rozdíl dvou sad. To, co odlišuje symetrický rozdíl od rozdílu, je jeho symetrie. Konstrukcí lze změnit role A a B. To neplatí pro rozdíl mezi dvěma sadami.

Abychom zdůraznili tento bod, uvidíme s malou prací symetrii symetrického rozdílu od té doby, co vidíme A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A) = (B - A) ∪ (A - B) = B ∆ A.