Monopoly je desková hra, ve které se hráči dostanou k realizaci kapitalismu. Hráči kupují a prodávají nemovitosti a vzájemně si účtují nájem. Ačkoli ve hře existují sociální a strategické části, hráči pohybují svými figurkami po hrací desce pomocí dvou standardních šestistranných kostek. Protože to určuje, jak se hráči pohybují, je zde také aspekt pravděpodobnosti hry. Známe-li jen několik faktů, můžeme vypočítat, jak je pravděpodobné, že přistane na určitých místech během prvních dvou zatáček na začátku hry.
Kostky
Na každém tahu hráč hodí dvěma kostkami a pak přesune svůj kus o tolik mezer na desce. Proto je užitečné přezkoumat pravděpodobnosti hodení dvěma kostkami. V souhrnu jsou možné následující částky:
- Součet dvou má pravděpodobnost 1/36.
- Součet tří má pravděpodobnost 2/36.
- Součet čtyř má pravděpodobnost 3/36.
- Součet pěti má pravděpodobnost 4/36.
- Součet šesti má pravděpodobnost 5/36.
- Součet sedmi má pravděpodobnost 6/36.
- Součet osmi má pravděpodobnost 5/36.
- Součet devíti má pravděpodobnost 4/36.
- Součet deseti má pravděpodobnost 3/36.
- Součet jedenácti má pravděpodobnost 2/36.
- Součet dvanácti má pravděpodobnost 1/36.
Jak budeme pokračovat, budou tyto pravděpodobnosti velmi důležité.
Monopoly Gameboard
Musíme také vzít na vědomí herní plán Monopoly. Okolo herní plochy je celkem 40 míst, přičemž 28 těchto nemovitostí, železnic nebo pomůcek lze zakoupit. Šest mezer zahrnuje vytažení karty z hromádek Chance nebo Community Chest. Tři prostory jsou volné prostory, ve kterých se nic neděje. Dva prostory zahrnující placení daní: buď daň z příjmu, nebo luxusní daň. Jeden prostor posílá hráče do vězení.
Budeme uvažovat pouze o prvních dvou otocích hry Monopoly. V průběhu těchto tahů je nejvzdálenější, co bychom se mohli dostat kolem hrací plochy, dvakrát najet dvanáct a přesunout celkem 24 mezer. Takže prozkoumáme pouze prvních 24 mezer na desce. V pořadí jsou tyto prostory:
- Středomořská třída
- Hrudník komunity
- Baltská třída
- Daň z příjmu
- Čtení železnice
- Oriental Avenue
- Šance
- Vermont Avenue
- Daň z Connecticutu
- Jen navštěvující vězení
- St. James Place
- Elektrická společnost
- States Avenue
- Virginia Avenue
- Pennsylvania Railroad
- St. James Place
- Hrudník komunity
- Tennessee Avenue
- New York Avenue
- Parkování zdarma
- Kentucky Avenue
- Šance
- Indiana Avenue
- Illinois Avenue
První zatáčka
První kolo je poměrně jednoduché. Protože máme pravděpodobnost, že hodí dvě kostky, jednoduše je porovnáme s příslušnými čtverci. Například druhý prostor je čtverec hrudníku komunity a existuje 1/36 pravděpodobnost převrácení součtu dvou. Existuje tedy pravděpodobnost přistání na hrudi Společenství v prvním kole.
Níže je uvedena pravděpodobnost přistání v následujících prostorech při prvním otočení:
- Hrudník komunity - 1/36
- Baltic Avenue - 2/36
- Daň z příjmu - 3/36
- Čtení železnice - 4/36
- Oriental Avenue - 5/36
- Šance - 6/36
- Vermont Avenue - 5/36
- Connecticut Tax - 4/36
- Just Visiting Jail - 3/36
- James Place - 2/36
- Elektrická společnost - 1/36
Druhé kolo
Vypočítání pravděpodobností pro druhé kolo je o něco obtížnější. Můžeme převrátit celkem dvě na obě odbočky a jít minimálně čtyři mezery, nebo celkem 12 na obě odbočky a jít maximálně 24 mezer. K dispozici jsou také mezery mezi čtyřmi a 24. Ale to lze provést různými způsoby. Například bychom mohli přesunout celkem sedm mezer přesunutím kterékoli z následujících kombinací:
- Dva mezery v prvním kole a pět mezer v druhém kole
- Tři mezery v prvním kole a čtyři mezery v druhém kole
- Čtyři mezery na prvním kole a tři mezery na druhém kole
- Pět mezer na prvním kole a dva mezery na druhém kole
Při výpočtu pravděpodobnosti musíme vzít v úvahu všechny tyto možnosti. Házky každého kola jsou nezávislé na hodu dalšího kola. Takže se nemusíme bát podmíněná pravděpodobnost, ale musíte znásobit každou z pravděpodobností:
- Pravděpodobnost válcování a potom pět je (1/36) x (4/36) = 4/1296.
- Pravděpodobnost válcování tři a pak čtyři je (2/36) x (3/36) = 6/1296.
- Pravděpodobnost válcování čtyři a pak tři je (3/36) x (2/36) = 6/1296.
- Pravděpodobnost válcování pět a pak dva je (4/36) x (1/36) = 4/1296.
Pravidlo vzájemného výhradního přidávání
Stejným způsobem se počítají i další pravděpodobnosti pro dvě otočení. V každém případě musíme přijít na všechny možné způsoby, jak získat celkovou částku odpovídající tomuto čtverci hrací desky. Níže jsou uvedeny pravděpodobnosti (zaokrouhleny na nejbližší stotinu procenta) přistání na následujících mezerách v prvním otočení:
- Daň z příjmu - 0,08%
- Čtení železnice - 0,31%
- Oriental Avenue - 0,77%
- Šance - 1,54%
- Vermont Avenue - 2,70%
- Connecticut Tax - 4,32%
- Just Visiting Jail - 6,17%
- James Place - 8,02%
- Elektrická společnost - 9,65%
- Státní třída - 10,80%
- Virginia Avenue - 11,27%
- Pennsylvania Railroad - 10,80%
- James Place - 9,65%
- Hrudník komunity - 8,02%
- Tennessee Avenue 6,17%
- New York Avenue 4,32%
- Parkování zdarma - 2,70%
- Kentucky Avenue - 1,54%
- Šance - 0,77%
- Indiana Avenue - 0,31%
- Illinois Avenue - 0,08%
Více než tři tahy
Pro více zatáček je situace ještě obtížnější. Jedním z důvodů je to, že v pravidlech hry, pokud hodíme trojnásobek v řadě, jdeme do vězení. Toto pravidlo ovlivní naše pravděpodobnosti způsoby, které jsme předtím nemuseli zvažovat. Kromě tohoto pravidla existují i efekty z karet náhod a komunitních hrudníků, které nebereme v úvahu. Některé z těchto karet směrují hráče, aby přeskakovali přes mezery a šli přímo do konkrétních prostor.
Vzhledem ke zvýšené výpočetní složitosti je pomocí metod Monte Carlo snazší vypočítat pravděpodobnosti pro více než jen několik tahů. Počítače mohou simulovat stovky tisíc, ne-li miliony her Monopoly, a pravděpodobnost přistání v každém prostoru lze vypočítat empiricky z těchto her.