Jedno použití a chi-square distribuce je s testy hypotéz pro multinomiální experimenty. Chcete-li vidět, jak to test hypotéz práce, prozkoumáme následující dva příklady. Oba příklady pracují se stejnou sadou kroků:
- Vytvořte nulové a alternativní hypotézy
- Vypočítat statistiku testu
- Najděte kritickou hodnotu
- Rozhodněte se, zda odmítnout nebo odmítnout naši nulovou hypotézu.
Příklad 1: Spravedlivá mince
Pro náš první příklad se chceme podívat na minci. Spravedlivá mince má stejnou pravděpodobnost 1/2 příchodu hlav nebo ocasu. Hodili jsme 1000 mincí a zaznamenali výsledky celkem 580 hlav a 420 ocasů. Chceme otestovat hypotézu s 95% jistotou, že mince, které jsme převrátili, jsou spravedlivé. Více formálně, nulová hypotézaH0 je, že mince je fér. Vzhledem k tomu, že porovnáváme pozorované frekvence výsledků házení mincí s očekávanými frekvencemi z idealizované spravedlivé mince, měl by se použít test chí-kvadrát.
Vypočítejte statistiku Chi-Square
Začneme výpočtem statistiky chi-square pro tento scénář. Existují dvě události, hlavy a ocasy. Hlava má pozorovanou frekvenci
F1 = 580 s očekávanou frekvencí E1 = 50% x 1000 = 500. Ocasy mají pozorovanou frekvenci F2 = 420 s očekávanou frekvencí E1 = 500.Nyní použijeme vzorec pro statistiku chí-kvadrát a uvidíme, že χ2 = (F1 - E1 )2/E1 + (F2 - E2 )2/E2= 802/500 + (-80)2/500 = 25.6.
Najděte kritickou hodnotu
Dále musíme najít kritickou hodnotu pro správnou distribuci chi-square. Protože existují dva výsledky pro mince, je třeba zvážit dvě kategorie. Počet stupně svobody je menší než počet kategorií: 2 - 1 = 1. Pro tento počet stupňů volnosti používáme distribuci chi-kvadrát a vidíme to χ20.95=3.841.
Odmítnout nebo odmítnout?
Nakonec porovnáme vypočítanou statistiku chí-kvadrát s kritickou hodnotou z tabulky. Od 25.6> 3.841 odmítáme nulovou hypotézu, že jde o spravedlivou minci.
Příklad 2: Spravedlivé zemřít
Spravedlivá matrice má stejnou pravděpodobnost 1/6 válcování jeden, dva, tři, čtyři, pět nebo šest. Válíme raznici 600krát a všimneme si, že hodíme jednou 106krát, dvakrát 90krát, třikrát 98krát, čtyřikrát 102krát, pětkrát 100krát a šestkrát 104krát. Chceme otestovat hypotézu s 95% jistotou, že máme spravedlivou smrt.
Vypočítejte statistiku Chi-Square
Existuje šest událostí, každá s očekávanou frekvencí 1/6 x 600 = 100. Pozorované frekvence jsou F1 = 106, F2 = 90, F3 = 98, F4 = 102, F5 = 100, F6 = 104,
Nyní použijeme vzorec pro statistiku chí-kvadrát a uvidíme, že χ2 = (F1 - E1 )2/E1 + (F2 - E2 )2/E2+ (F3 - E3 )2/E3+(F4 - E4 )2/E4+(F5 - E5 )2/E5+(F6 - E6 )2/E6 = 1.6.
Najděte kritickou hodnotu
Dále musíme najít kritickou hodnotu pro správnou distribuci chi-square. Protože existuje šest kategorií výsledků pro zemřít, počet stupňů volnosti je o jeden menší než tento: 6 - 1 = 5. Používáme distribuci chi-square pro pět stupňů volnosti a vidíme to χ20.95=11.071.
Odmítnout nebo odmítnout?
Nakonec porovnáme vypočítanou statistiku chí-kvadrát s kritickou hodnotou z tabulky. Protože vypočítaná statistika chí-kvadrát je 1,6, je menší než naše kritická hodnota 11 071, my odmítnout nulová hypotéza.