Co je standardní normální rozdělení ve statistice?

Bell křivky zobrazí se v celé statistice. Různá měření, jako jsou průměry semen, délky rybích ploutví, skóre na SAT a hmotnosti jednotlivých listů papíru, se při zakreslování projevují jako zvonové křivky. Obecný tvar všech těchto křivek je stejný. Ale všechny tyto křivky jsou odlišné, protože je vysoce nepravděpodobné, že by některá z nich měla stejný průměr nebo standardní odchylku. Zvonkové křivky s velkými směrodatnými odchylkami jsou široké a zvonové křivky s malými směrodatnými odchylkami jsou hubené. Bell křivky s většími prostředky jsou posunuty více doprava než ti s menšími prostředky.

Aby to bylo trochu konkrétnější, předstírejme, že změříme průměry 500 jader kukuřice. Poté tato data zaznamenáme, analyzujeme a grafujeme. Zjistilo se, že soubor dat má tvar zvonové křivky a má střední hodnotu 1,2 cm se standardní odchylkou 0,4 cm. Nyní předpokládejme, že uděláme to samé s 500 fazolemi a zjistíme, že mají střední průměr 0,8 cm se standardní odchylkou 0,04 cm.

Zvonkové křivky z obou těchto datových souborů jsou vyneseny výše. Červená křivka odpovídá údajům kukuřice a zelená křivka odpovídá údajům o bobech. Jak vidíme, středy a rozpětí těchto dvou křivek jsou odlišné.

To jsou jasně dvě různé zvonové křivky. Jsou odlišné, protože jejich prostředky a standardní odchylky neshodují se. Protože jakékoli zajímavé soubory dat, se kterými se setkáváme, mohou mít jako standardní odchylku libovolné kladné číslo a libovolné číslo pro střední hodnotu, opravdu jen poškrábáme povrch nekonečný počet zvonových křivek. To je spousta křivek a příliš mnoho na to, abychom se s nimi vypořádali. Jaké je řešení?

Jedním z cílů matematiky je zobecnění věcí, kdykoli je to možné. Někdy je několik individuálních problémů zvláštním případem jednoho problému. Tato situace zahrnující zvonové křivky je toho velkým příkladem. Spíše než se zabývat nekonečným počtem zvonových křivek, můžeme je všechny spojit s jedinou křivkou. Tato speciální křivka se nazývá standardní křivka nebo standardní normální rozdělení.

Standardní křivka zvonku má střední nulu a směrodatnou odchylku jedna. Jakákoli jiná křivka zvonku může být porovnána s tímto standardem pomocí a přímý výpočet.

Všechny vlastnosti jakékoli zvonové křivky platí pro standardní normální rozdělení.

• Standardní normální rozdělení má nejen střední hodnotu nula, ale také medián a režim nula. Toto je střed křivky.
• Standardní normální rozdělení ukazuje zrcadlovou symetrii na nulu. Polovina křivky je nalevo od nuly a polovina křivky je vpravo. Pokud by křivka byla složena podél svislé čáry na nulu, obě poloviny by se perfektně shodovaly.
• Standardní normální rozdělení se řídí pravidlem 68-95-99.7, což nám umožňuje snadno odhadnout následující:
  • Přibližně 68% všech údajů je mezi -1 a 1.
  • Přibližně 95% všech údajů je mezi -2 a 2.
  • Přibližně 99,7% všech údajů je mezi -3 a 3.

V této chvíli se můžeme ptát: „Proč se obtěžovat standardní zvonovou křivkou?“ Může to vypadat jako zbytečná komplikace, ale standardní zvonová křivka bude přínosná, jak budeme pokračovat ve statistice.

Zjistíme, že jeden typ problému ve statistice vyžaduje, abychom našli oblasti pod částmi jakékoli zvonové křivky, se kterou se setkáváme. Zvonková křivka není pro oblasti pěkným tvarem. Není to jako obdélník nebo pravoúhlý trojuhelník které mají snadné vzorce pro oblast. Nalezení oblastí částí zvonové křivky může být složité, ve skutečnosti tak těžké, že bychom museli použít nějaký počet. Pokud nebudeme standardizovat naše křivky zvonku, museli bychom udělat nějaký počet vždy, když chceme najít oblast. Pokud standardizujeme naše křivky, pro nás byla provedena veškerá práce v oblasti výpočtu oblastí.