Integrace pomocí částí je jednou z mnoha integračních technik, které se používají v systému počet. Tuto metodu integrace lze považovat za způsob, jak vrátit zpět produktové pravidlo. Jednou z obtíží při používání této metody je určení, jakou funkci v našem integrandu by měla být přiřazena ke které části. Zkratka LIPET může být použita jako vodítko, jak rozdělit části našeho integrálu.
Integrace po částech
Připomeňme metodu integrace po částech. Vzorec pro tuto metodu je:
∫ u dproti = uv - ∫ proti du.
Tento vzorec ukazuje, která část integrandu se má rovnat u, a kterou část nastavit rovnou dproti. LIPET je nástroj, který nám v tomto úsilí může pomoci.
Zkratka LIPET
Slovo „LIPET“ je akronym, což znamená, že každé písmeno znamená jedno slovo. V tomto případě představují písmena různé typy funkcí. Jedná se o tyto identifikace:
- L = logaritmická funkce
- I = inverzní trigonometrická funkce
- P = Polynomiální funkce
- E = exponenciální funkce
- T = Trigonometrická funkce
To poskytuje systematický seznam toho, co se má pokusit nastavit jako rovnocenné
u ve vzorci integrace po částech. Pokud existuje logaritmická funkce, zkuste tuto hodnotu nastavit na u, se zbytkem integrandu rovným dproti. Pokud neexistují žádné logaritmické nebo inverzní spouštěcí funkce, zkuste nastavit polynom rovný u. Následující příklady pomáhají objasnit použití této zkratky.Příklad 1
Zvažte ∫ X lnX dX. Protože existuje logaritmická funkce, nastavte tuto funkci na rovnou u = ln X. Zbytek integrandu je dproti = X dX. Z toho vyplývá, žeu = dX / X a to proti = X2/ 2.
Tento závěr lze nalézt pokusem a omylem. Druhou možností by bylo nastavení u = X. Du bylo by velmi snadné vypočítat. Problém nastává, když se podíváme na dproti = lnX. Chcete-li zjistit, tuto funkci integrujte proti. To je bohužel velmi obtížné spočítat.
Příklad 2
Zvažte integrál ∫ X cos X dX. Začněte prvními dvěma písmeny v LIPETu. Neexistují žádné logaritmické funkce ani inverzní trigonometrické funkce. Další písmeno v LIPETu, P, znamená polynomy. Od funkce X je polynom, set u = X a dproti = cos X.
Toto je správná volba pro integraci částmi jako du = dX a proti = hřích X. Integrál se stává:
X hřích X - ∫ hřích X dX.
Získejte integrál přímou integrací hříchu X.
Když selže LIPET
V některých případech LIPET selže, což vyžaduje nastavení u rovná se jiné funkci, než která je předepsána LIPETem. Z tohoto důvodu by tato zkratka měla být považována pouze za způsob, jak uspořádat myšlenky. Zkratka LIPET nám také poskytuje náčrt strategie, kterou lze vyzkoušet při použití integrace po částech. Není to matematická věta nebo princip, který je vždy cestou k řešení problému integrace částmi.