Co jsou to funkce exponenciálního růstu?

Exponenciální funkce vyprávějí příběhy o výbušných změnách. Dva typy exponenciálních funkcí jsou exponenciální růst a exponenciální rozpad. V exponenciálních funkcích hrají roli čtyři proměnné (procento změny, čas, částka na začátku časového období a částka na konci časového období). Následující část se zaměřuje na použití exponenciálních růstových funkcí k vytváření předpovědí.

Exponenciální růst je změna, ke které dochází, když se původní částka zvýší konzistentním tempem v průběhu časového období

Použití exponenciálního růstu v reálném životě:

• Hodnoty cen domů
• Hodnoty investic
• Zvýšené členství v populárním webu sociálních sítí

Edloe and Co. se spoléhá na ústní reklamu, původní sociální síť. Padesát nakupujících to řeklo pěti lidem, a pak každý z těchto nových nakupujících řekl dalším pěti lidem atd. Manažer zaznamenal růst nakupujících.

• Týden 0: 50 nakupujících
• 1. týden: 250 nakupujících
• 2. týden: 1 250 nakupujících
• Týden 3: 6 250 nakupujících
• 4. týden: 31 250 nakupujících

Za prvé, jak víte, že tato data představují exponenciální růst? Položte si dvě otázky.

1. Zvyšují se hodnoty? Ano
2. Prokazují hodnoty konzistentní procentuální nárůst? Ano.

Procentuální zvýšení: (novější - starší) / (starší) = (250 - 50) / 50 = 200/50 = 4,00 = 400%

Ověřte, že procentuální nárůst přetrvává po celý měsíc:

Procentuální zvýšení: (novější - starší) / (starší) = (1 250 - 250) / 250 = 4,00 = 400%
Procentuální zvýšení: (novější - starší) / (starší) = (6 250 - 1 250) / 1 250 = 4,00 = 400%

Opatrně - nezaměňujte exponenciální a lineární růst.

Následuje lineární růst:

• 1. týden: 50 nakupujících
• 2. týden: 50 nakupujících
• Týden 3: 50 nakupujících
• 4. týden: 50 nakupujících

Poznámka: Lineární růst znamená stálý počet zákazníků (50 nakupujících týdně); exponenciální růst znamená stálý procentní nárůst (400%) zákazníků.

Zde je exponenciální funkce růstu:

y = A(1 + b)^X

• y: Konečná částka zbývající po určitou dobu
• A: Původní částka
• X: Čas
• růstový faktor je (1 + b).
• Proměnná, b, je procentuální změna v desítkové podobě.

Vyplň prázdná políčka:

• A = 50 nakupujících
• b = 4.00

y = 50(1 + 4)^X

Poznámka: Nevyplňujte hodnoty pro X a y. Hodnoty X a y se během funkce změní, ale původní změna v procentech a procentech zůstane konstantní.

Předpokládejme, že recese, hlavní řidič nakupujících do obchodu, přetrvává 24 týdnů. Kolik týdenních nakupujících bude mít obchod v průběhu 8^tis týden?

Opatrně, nezdvojnásobujte počet nakupujících ve 4. týdnu (31 250 * 2 = 62 500) a věřte, že je to správná odpověď. Pamatujte, že tento článek je o exponenciálním růstu, nikoli o lineárním růstu.

Ke zjednodušení použijte pořadí operací.

y = 50(1 + 4)^X

y = 50(1 + 4)⁸

y = 50(5)⁸ (Závorka)

y = 50 (390 625) (exponent)

y = 19 531 250 (násobeno)

19 531 250 kupujících

Před začátkem recese se měsíční příjem obchodu pohyboval kolem 800 000 dolarů. Obchod je výnos je celková částka dolaru, kterou zákazníci v obchodě utratí za zboží a služby.

Výnosy společnosti Edloe a Co.

• Před recesí: 800 000 dolarů
• 1 měsíc po recesi: 880 000 dolarů
• 2 měsíce po recesi: 968 000 $
• 3 měsíce po recesi: 1 171 280 $
• 4 měsíce po recesi: 1 288 408 $

Informace o příjmech společnosti Edloe and Co použijte k dokončení 1 až 7.

1. Jaké jsou původní příjmy?
2. Co je růstový faktor?
3. Jak tyto údaje modelují exponenciální růst?
4. Napište exponenciální funkci, která popisuje tato data.
5. Napište funkci, která předpovídá příjmy v pátém měsíci po začátku recese.
6. Jaké jsou příjmy v pátém měsíci po zahájení EU? recese?
7. Předpokládejme, že doména této exponenciální funkce je 16 měsíců. Jinými slovy, předpokládejme, že recese potrvá 16 měsíců. V jakém okamžiku převýší příjmy 3 miliony dolarů?